Question

1．若不等式$\frac{{x}^{2}-8x+20}{m{x}^{2}+2（m+1）x+9m+4}$＞0對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，可得mx²+2（m+1）x+4+9m＞0，對任意實數(shù)x恒成立，對m討論，當m=0，m＞0，判別式小于0，m＜0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，
可得mx²+2（m+1）x+4+9m＞0，對任意實數(shù)x恒成立，
當m=0時，2x+4＞0，解得x＞-2，不恒成立；
當m＞0，判別式4（m+1）²-4m（4+9m）＜0，
解得m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{2}$，即有m＞$\frac{1}{4}$成立；
當m＜0時，不恒成立．
綜上可得m的范圍是（$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和二次不等式的解法，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．