Question

16．已知命題p：方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：關(guān)于x的方程x²+2mx+2m+3=0無實(shí)根，
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真命題，根據(jù)橢圓的定義和方程建立不等式關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）根據(jù)復(fù)合命題的關(guān)系得到p，q為一個真命題，一個假命題，然后求解即可．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{3-m＞0}\\{3-m＞m+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{m＜3}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
即-1＜m＜1，
∴若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，1）；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
則p，q為一個真命題，一個假命題，
若關(guān)于x的方程x²+2mx+2m+3=0無實(shí)根，
則判別式△=4m²-4（2m+3）＜0，
即m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3．
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜1}\\{m≥3或m≤-1}\end{array}\right.$，此時無解，
柔p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m≥1或m≤-1}\\{-1＜m＜3}\end{array}\right.$，得1≤m＜3，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，3）．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系以及應(yīng)用，求出命題的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．