已知圓C的方程為（x-1）2+y2=1，P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上一點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，求
PA
•
PB
的范圍為（　�。�
A、[0，
56
9
]
B、[2
2
-3，+∞]
C、[2
2
-3，
56
9
]
D、[
3
2
，
56
9
]
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：向量與圓錐曲線
分析：利用圓切線的性質(zhì)：與圓心切點(diǎn)連線垂直；設(shè)出一個(gè)角，通過解直角三角形求出PA，PB的長；利用向量的數(shù)量積公式表示出
PA
•
PB
，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)，通過換元，再利用基本不等式求出最值．
解答： 解：設(shè)PA與PC的夾角為α，則|PA|=PB|=
1
tanα
，
∴y=
PA
•
PB
=|PA||PB|cos2α=
1
tan2α
•cos2α=
1+cos2α
1-cos2α
•cos2α．
記cos2α=u，則y=
u(u+1)
1-u
=-3+（1-u）+
2
1-u
≥2
2
-3，
∵P在橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，sinα=
1
3
，∴cos2α=
7
9
，
∴
PA
•
PB
的最大值為
1+
7
9
1-
7
9
•
7
9
=
56
9
，
∴
PA
•
PB
的范圍為[2
2
-3，
56
9
]．
故選：C．
點(diǎn)評：本題考查圓切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線a⊥直線b，直線a⊥平面β，則b與β的位置關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|log2x＜1}，則M∩N等于（　�。�
A、{x|0＜x＜1}
B、{x|-1＜x＜2}
C、{x|-1＜x＜0}
D、{x|-1＜x＜1}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列判斷正確的是（　�。�
A、若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b
B、a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b
C、若a?α，b?β，a∥b，則α∥β
D、若m⊥α，m⊥n，則n∥α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三點(diǎn)A（2，1），B（1，-2），C（
3
5
，-
1
5
），動點(diǎn)P（a，b）滿足0≤
OP
•
OA
≤2，且0≤
OP
•
OB
≤2，則動點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離小于
1
4
的概率為（　　）
A、1-
5π
64
B、
5π
64
C、1-
π
16
D、
π
16

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線x2=my上一點(diǎn)M（x0，-3）到焦點(diǎn)的距離為5，則實(shí)數(shù)m的值為（　�。�
A、-8B、-4C、8D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a=log2.83.1，b=logπe，c=logeπ，則（　�。�
A、a＜c＜b
B、c＜a＜b
C、b＜a＜c
D、b＜c＜a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x≥
5
2
，求f（x）=
x2-4x+5
x-2
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
1
2
PD
（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q-BP-C的余弦值．
（3）求點(diǎn)P到平面BQD的距離．

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