Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD
（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q-BP-C的余弦值．
（3）求點(diǎn)P到平面BQD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,平面與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題

分析：（1）建立坐標(biāo)系，證明

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0，可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC．故PQ⊥平面DCQ，即可證明平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求出平面PBC的法向量、平面PBQ的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角Q-BP-C的余弦值．
（3）利用等體積，即可求點(diǎn)P到平面BQD的距離．

解答： （1）證明：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）．
則

DQ

=(1，1，0)，

DC

=(0，0，1)，

PQ

=(1，-1，0)．
所以

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0．
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC．
故PQ⊥平面DCQ．
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ．…（4分）
（2）解：依題意有B（1，0，1），

CB

=(1，0，0)，

BP

=(-1，2，-1)．
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PBC的法向量，則

x=0 -x+2y-z=0

因此可取

n

=（0，-1，-2）．
同理可得平面PBQ的法向量

m

=（1，1，1），
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

15

5

．
故二面角Q-BP-C的余弦值為-

15

5

．…（8分）
（3）解：設(shè)P到平面BDQ距離為d，由V_P-BDQ=V_B-DQP=

1

3

S△DPQ•|

BA

|=

1

3

S△DPQ•d，
所以d=

2 3

3

（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，以及二面角的求解，同時(shí)考查了推理論證的能力，屬于中檔題．