Question

【題目】如圖，已知 是上、下底邊長分別為2和6，高為 的等腰梯形，將它沿對稱軸 折疊，使二面角 為直二面角.

（1）證明： ；
（2）求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題設(shè)知OA⊥OO1 ， OB⊥OO1 ， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB從而AO⊥平面OBCO1 ， OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影
因為tan∠OO1A= = ，tan∠O1OC= = ，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1由三垂線定理得AC⊥BO1
（2）解：由（1）AC⊥BO1 ， OC⊥BO1 ， 知BO1⊥平面AOC
設(shè)OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖），

則EF是O1F在平面AOC 內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角
由題設(shè)知OA=3，OO1= ，O1C=1，
所以 =2 ，AC= = ，從而 = ，
又O1E=OO1sin30°= ，所以sin∠O1FE= = ，∴二面角O﹣AC﹣O1的正弦值為 ．
【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合已知條件可得出∠AOB是所折成的直二面角的平面角，進而得出OA⊥OB再由線面垂直的判定定理可得AO⊥平面OBCO1 ， 結(jié)合直角三角形的特點分別求出兩個角的正切值，從而得到兩個角的大小。(2) 由已知作出輔助線利用三垂線定理可得出∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角，利用勾股定理以及解三角形的知識求出其正弦值。