Question

【題目】已知函數(shù) ，且 .
（1）試求 的值；
（2）用定義證明函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；
（3）設(shè)關(guān)于 的方程 的兩根為 ，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) ，使得不等式 對(duì)任意的 及 恒成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
設(shè) ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ 在 上單調(diào)遞增
（3）解：∵
∴
∴
又∵
∴ ，故只需當(dāng) ，使得 恒成立，即 在 恒成立，也即 在 恒成立，
∴令 ，
由第（2）問(wèn)可知 在 上單調(diào)遞增，
同理可得 在 上單調(diào)遞減.
∴
∴
故 的取值集合是 .
【解析】（1）將x=1代入解析式，即可解出a的值，（2）根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義即可證明，（3）方程f（x）=x+b，得出x2-bx+1=0，由，得出，故只須當(dāng)，使得恒成立，即在恒成立，令，由（2）問(wèn)知，f（m）單調(diào)性，不難求出f（m）的最小值.