Question

如圖1所示，E是矩形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，且AD=2，AB=4，連AE，將△ADE沿AE翻折（如圖2），使平面ADE⊥平面ABCE，F(xiàn)是BD中點(diǎn)，連CF．

（Ⅰ）求證：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）求證：AD⊥平面DBE；
（Ⅲ）求四棱錐D-ABCE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取DA中點(diǎn)G，連GF，GE，證明四邊形GFCE是平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明CF∥平面ADE．
（Ⅱ）連EB，證明EB⊥AE，AD⊥DE，利用直線與平面垂直的判定定理證明AD⊥平面DBE．
（Ⅲ）取AE的中點(diǎn)H，判斷DH是錐 D-ABCE的錐高，求出高以及S_ABCE，即可求解幾何體的體積．

解答： 證明：（Ⅰ）取DA中點(diǎn)G，連GF，GE，則GF

∥

.

1

2

AB 又EC

∥

.

1

2

AB
∴GF

∥

.

EC∴四邊形GFCE是平行四邊形
∴GE∥FC   而GE?面ADE　且FC?面ADE∴CF∥平面ADE…（4分）
（Ⅱ）連EB，由題意知：AE=EB=2

2

，
AE²+EB²=4²=AB²，∴EB⊥AE
∵平面ADE⊥平面ABCE∴EB⊥平面ADE
∴EB⊥AD，而AD⊥DE，DE∩EB=E，∴AD⊥平面DBE…（8分）
（Ⅲ）取AE的中點(diǎn)H，∵AD=DE
∴DH⊥AE∵平面ADE⊥平面ABCE
∴DH⊥平面ABCE∴DH是錐 D-ABCE的錐高
而 DH=

2

，S_ABCE=

1

2

(2+4)×2=6，
∴VD-ABCE=

1

3

×6×

2

=2

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．