Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1（n≥2，且n∈N^*）
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）若對(duì)?n∈N^*，不等式a_n+α＞S_n恒成立，求實(shí)數(shù)α的最小值；
（3）若c_n=tⁿ[n（lg3+lgt）+lga_n+1]（t＞0），且數(shù)列{c_n}中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1公式證明；（2）求S_n-a_n并轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題；（3）注意討論．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
又∵S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1，
∴3a_n=a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（2）∵an=(

1

3

)n-1，Sn=

3

2

(1-

1

3n

)，
∴Sn-an=

3

2

(1-

1

3n

)-

1

3n-1

=

3

2

-

1

2•3n-2

∴不等式a_n+α＞S_n恒成立?α＞

3

2

-

1

2•3n-2

對(duì)?n∈N*恒成立．
α≥

3

2

．
∴滿足條件α的最小值為

3

2

．
（3）cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1]=ntnlgt
由題意知c_n+1-c_n＞0（n=1，2，3，…）恒成立，
即cn+1-cn=(n+1)tn+1lgt-ntnlgt=(lgt)[(n+1)t-n]tn＞0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．
∵t＞0，∴tⁿ＞0
①若t＞1，則lgt＞0且t-1＞0⇒（n+1）t-n＞0，n＞

-t

t-1

對(duì)任意正整數(shù)n恒成立⇒1＞

-t

t-1

，∴t＜

1

2

或t＞1，∴t＞1．
②若t=1，lgt=0不合題意．
③若1＞t＞0，則lgt＜0，且(n+1)t-n＜0(∵t-1＜0)⇒n＞

-t

t-1

對(duì)任意正整數(shù)n恒成立⇒1＞

-t

t-1

，∴0＜t＜

1

2

，∴0＜t＜

1

2

；
綜上，0＜t＜

1

2

或t＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了a_n=S_n-S_n-1公式的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的處理方法與分類討論的數(shù)學(xué)思想．