Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

將兩塊三角板按圖甲方式拼好（A、B、C、D四點(diǎn)共面），其中，，，AC = 2，現(xiàn)將三角板ACD沿AC折起，使點(diǎn)D在平面ABC上的射影O恰好落在邊AB上（如圖乙）．
(1)求證：AD⊥平面BDC；
(2)求二面角D－AC－B的大��；

(3)求異面直線AC與BD所成角的大小。

Answer 1

(1)證：由已知DO⊥平面ABC，∴平面ADB⊥平面ABC，　（2分）
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，又∵ADÌ平面ADB，∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC　　　　　（4分）
(2)解：由(1)得AD⊥BD，
由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1,∴O是AB的中點(diǎn)，
過(guò)D作DE⊥AC于E，連結(jié)OE，則OE⊥AC.
∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角，      （6分）
且. ∴.
即二面角D－AC－B的大小為．    （8分）

(3)解：取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以GO、OB、OD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，. ∴.   （10分）
設(shè)AC與BD所成的角為，則，∴．
即異面直線AC與BD所成角的大小為．   （12分）