Question

19．已知命題p：?x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，ax₀＜1；命題q：函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+1}$的定義域是R；若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先由命題p得到，?${x}_{0}∈[\frac{1}{2}，2]$，$a＜\frac{1}{{x}_{0}}$，容易得出函數(shù)$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}，2$]上的最大值為2，從而有a＜2；由命題q得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≤0}\end{array}\right.$，從而得到a≥1，而根據(jù)條件知道p真q假，或p假q真，從而求出這兩種情況下a的取值范圍再求并集即可．

解答 解：若命題p為真，則：?x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，$a＜\frac{1}{{x}_{0}}$；
函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$[\frac{1}{2}，2]$上為減函數(shù)；
∴該函數(shù)的最大值為2；
∴a＜2；
若命題q為真，則ax²+2x+1≥0恒成立；
若a=0，2x+1≥0不恒成立；
∴a≠0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≤0}\end{array}\right.$；
解得a≥1；
而由p∧q為假命題，p∨q為真命題知，p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥1}\end{array}\right.$；
∴a＜1，或a≥2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）∪[2，+∞）．

點(diǎn)評 考查反比例函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，由ax²+2x+1≥0恒成立便能得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，以及二次函數(shù)圖象和x軸的關(guān)系與判別式△取值的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．