Question

13．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）．變形a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2）．利用等比數(shù)列的定義即可證明．利用通項(xiàng)公式可得a_n+1-a_n=2ⁿ．再利用累加求和方法即可得出．
（2）b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）．
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2）．
又a₂-a₁=2．
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2．
∴a_n+1-a_n=2ⁿ．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}+1$=2ⁿ．
（2）解：b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法、累加求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．