Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₂=1，|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{n（n+2）}$，若a_2n+1＞a_2n-1，a_2n+2＜a_2n（n∈N⁺）則數(shù)列{（-1）ⁿa_n}的前40項的和為（　�。�

• A． $\frac{19}{20}$
• B． $\frac{325}{462}$
• C． $\frac{41}{84}$
• D． $\frac{20}{41}$

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₂=1，|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{n（n+2）}$，則a_n+1-a_n=±$\frac{1}{n（n+2）}$，利用n為偶數(shù)時，a_2n+2＜a_2n（n∈N⁺），n為奇數(shù)時，a_2n+1＞a_2n-1，可得：n為偶數(shù)時，a_n+1-a_n=-$\frac{1}{n（n+2）}$，n為奇數(shù)時，a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₂=1，|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{n（n+2）}$，則a_n+1-a_n=±$\frac{1}{n（n+2）}$，
a_n+2-a_n+1=$±\frac{1}{（n+1）（n+3）}$．∴a_n+2-a_n=±$\frac{1}{n（n+2）}$±$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，∵$\frac{1}{n（n+2）}$＞$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，
n為偶數(shù)時，a_2n+2＜a_2n（n∈N⁺），∴a_2n+2-a_2n=-$\frac{1}{n（n+2）}$±$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，
n為奇數(shù)時，a_2n+1＞a_2n-1，∴a_2n+1-a_2n-1=$\frac{1}{n（n+2）}$±$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$，
綜上可得：n為偶數(shù)時，a_n+1-a_n=-$\frac{1}{n（n+2）}$，
n為奇數(shù)時，a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$．
∴數(shù)列{（-1）ⁿa_n}的前40項=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a₄₀-a₃₉）
=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{39×41}$
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{39}-\frac{1}{41}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{41}）$
=$\frac{20}{41}$．
故選：D．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系及其單調(diào)性、分類討論方法、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．