Question

（本題滿分18分）定義：若各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“算術(shù)平方根遞推數(shù)列”.

已知數(shù)列滿足且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上.

（1）試判斷數(shù)列是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列？若是，請說明你的理由；

（2）記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；

（3）從數(shù)列中依據(jù)某種順序自左至右取出其中的項(xiàng) ，把這些項(xiàng)重新組成一個新數(shù)列：.若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列各項(xiàng)的和為，求正整數(shù)的值．

Answer 1

（1） 是，理由祥見解析；（2） 證明祥見解析，；（3）k=2,m=3.

【解析】

試題分析：（1）利用“平方遞推數(shù)列”的定義判斷即可；

（2）利用（1）的結(jié)論，由等比數(shù)列的定義即可得證，進(jìn)而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出通項(xiàng)公式；

（3）由無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式可得關(guān)于m,k的方程，由于m,k都是正整數(shù)，所以對m的取值進(jìn)行分類討論：當(dāng)時代入方程可知矛盾，，從而得到或2，然后再分別討論即可求得m,k的值．

試題解析：（1）答：數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列.

理由：在函數(shù)的圖像上，

，.

又，

∴．

∴數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列.

證明（2） ，

.

又,

數(shù)列是首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列.

.

（3）由題意可知，無窮等比數(shù)列的首項(xiàng),公比，

．

化簡，得．

若，則.這是矛盾！

.

又時，,

.

.

考點(diǎn)：1. 等比關(guān)系的確定;2.無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和;3.不定方程．