【題目】在平面直角坐標系xoy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線E的極坐標方程為,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).P為曲線E上的動點,點Q為線段OP的中點.

1)求點Q的軌跡(曲線C)的直角坐標方程;

2)若直線l交曲線CA,B兩點,點恰好為線段AB的三等分點,求直線l的普通方程.

【答案】1;(2.

【解析】

1)設點Q,P的極坐標分別為,由題意可得,由極坐標方程與直角坐標方程的轉化公式即可得解;

2)直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得,化簡后利用韋達定理結合題意即可得解.

1)設點Q,P的極坐標分別為,,

,

所以,

所以點Q軌跡的極坐標方程為,

Q軌跡的直角坐標方程為;

2)由(1)得曲線C的直角坐標方程為,

將直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得

,

由點恰好為線段AB的三等分點,不妨設方程兩根為,

所以,即,所以

在一、三象限同號,二、四象限異號,

所以直線的斜率,又直線過,

故直線的普通方程為.

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