Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3}{1+{e}^{x}}$-a（a∈R，e為自然常數(shù)）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（0）=0，求得a的值，然后利用奇函數(shù)的定義證明a=1時(shí)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

解答 （1）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x₁，x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3{（e}^{{x}_{2}}{-e}^{{x}_{1}}）}{（1{+e}^{{x}_{1}}）（1{+e}^{{x}_{2}}）}$，
∵y=e^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴${e}^{{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)；
（2）解：若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則f（0）=$\frac{3}{2}$-a=0，
∴a=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{3}{1+{e}^{x}}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{-3{（e}^{x}-1）}{2{（e}^{x}+1）}$
∴f（-x）=$\frac{3}{1{+e}^{-x}}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{3{（e}^{x}-1）}{2{（e}^{x}+1）}$=-f（x），
此時(shí)f（x）為奇函數(shù)，滿足題意，
∴a=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．