Question

9．M、N分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，橢圓上異于M、N于點P滿足k_PM•k_PN=-$\frac{1}{4}$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 通過已知條件可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$、$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵P（x₀，y₀）（x₀≠a）是橢圓：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，
∵M、N分別是橢圓的左、右頂點，k_PM•k_PN=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，
∴a²=4b²，c²=3b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查橢圓離心率的求法，考查運算求解能力，解題時要認真審題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．