Question

19．已知點P（m，n）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，則直線mx+ny+1=0與橢圓x²+y²=$\frac{1}{3}$的位置關(guān)系為（　　）

• A． 相交
• B． 相切
• C． 相離
• D． 相交或相切

Answer 1

分析 由點P在橢圓上得到m，n的關(guān)系，把n用含有m的代數(shù)式表示，代入圓心到直線的距離中得到圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，則答案可求．

解答 解：∵P（m，n）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
∴$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$，${n}^{2}=3-\frac{3}{4}{m}^{2}$，
圓x²+y²=$\frac{1}{3}$的圓心O（0，0）到直線mx+ny+1=0的距離：
d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3-\frac{3}{4}{m}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3+\frac{1}{4}{m}^{2}}}≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線mx+ny+1=0與橢圓x²+y²=$\frac{1}{3}$的位置關(guān)系為相交或相切．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．