Question

6．已知函數(shù)f（x）=（λx+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值； 
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，證明：$\frac{f（x）}{x-1}＞0$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的定義域為（0，+∞），當(dāng)λ=0，f（x）=lnx-x+1，求導(dǎo)，令f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x=1時，f（x）取最大值；
（Ⅱ）求導(dǎo)，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx-x-1＜0，分類當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx-x-1=xlnx+（lnx-x+1）＜0，當(dāng)x＞1時，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx-x（ln$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$+1）＞0，可知$\frac{f（x）}{x-1}＞0$．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)λ=0，f（x）=lnx-x+1，
求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令f′（x）=0，解得：x=1，
∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＞1，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
故f（x）在x=1處取最大值，f（1）=0，
（Ⅱ）證明：求導(dǎo)，f′（x）=λlnx+$\frac{λx+1}{x}$-1，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=1，即λ=1，
∴f（x）=（x+1）lnx-x+1，
由（Ⅰ）可知，lnx-x-1＜0（x≠1），
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx-x-1=xlnx+（lnx-x+1）＜0，
∴$\frac{f（x）}{x-1}$＞0，
當(dāng)x＞1時，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx-x（ln$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$+1）＞0，
∴$\frac{f（x）}{x-1}$＞0，
綜上可知：$\frac{f（x）}{x-1}$＞0．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的充要條件，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．