Question

18．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$
（1）判斷曲線C₁與曲線C₂的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y）為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求2x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）將參數(shù)方程曲線C₁與曲線C₂化為普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可判斷．
（2）利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有界限求其最大值．

解答 解：（1）將C₁消去參數(shù)t，即$\frac{2-x}{\sqrt{2}}×\sqrt{2}-1=y$，化簡得到C₁的方程為x+y-1=0．
由$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$，得$ρ=\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ$，
∴${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，即${x^2}-\sqrt{2}x+{y^2}+\sqrt{2}y=0$，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$．
圓心到直線的距離d：∵$d=\frac{{|{\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜1$．
故曲線C₁與曲線C₂相交．
（2）由題意：M（x，y）為曲線C₂上任意一點(diǎn)，可設(shè)$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosθ}\\{y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinθ}\end{array}}\right.$
則：$2x+y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+2cosθ+sinθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\sqrt{5}sin（θ+φ）$，
∵sin（θ+φ）的最大值為1．
∴2x+y的最大值是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的能力以及利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有界限求其最大值的問題，屬于基礎(chǔ)題．