Question

3．若平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤2$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值是-1．

Answer 1

分析 把|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤2$\sqrt{2}$兩邊平方，可得$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，利用基本不等式得到$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值可求．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤2$\sqrt{2}$，
∴$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}≤8$，即$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}≤8$，得$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
又$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}≥2\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}•{\overrightarrow}^{2}}=4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$$≥-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow≥-1$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值是-1，
故答案為：-1．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．