Question

4．設函數(shù)f（x）=|x-3|，g（x）=|x-2|
（1）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（2）對于實數(shù)x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，證明：|x-2y+1|≤3．

Answer 1

分析 （1）分類討論，解不等式f（x）+g（x）＜2；
（2）利用絕對值不等式，即可證明結論．

解答 （1）解：解不等式|x-3|+|x-2|＜2．
①當x≤2時，原不等式可化為3-x+2-x＜2，可得$x＞\frac{3}{2}$．所以$\frac{3}{2}＜x≤2$．
②當2＜x≤3時，原不等式可化為3-x+x-2＜2，可得1＜2．所以2＜x≤3．
③當x≥3時，原不等式可化為x-3+x-2＜2，可得$x＜\frac{7}{2}$．所以$3≤x＜\frac{7}{2}$．
由①②③可知，不等式的解集為$\left\{{x\left|{\frac{3}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right.}\right\}$．…（5分）
（2）證明：|x-2y+1|=|（x-3）-2（y-2）|≤|x-3|+2|y-2|≤1+2=3．
當且僅當 $\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$時等號成立．…（10分）

點評 本題考查不等式的解法與證明，考查絕對值不等式，屬于中檔題．