Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的左焦點(diǎn)為（-

3

，0），右頂點(diǎn)為（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，

OA

•

OB

＞2（其中O為原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（（Ⅰ）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則由題意可知a=2，c=

3

，進(jìn)而求得b，可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）把直線和橢圓方程聯(lián)立可得一元二次方程，根據(jù)△＞0求得k的范圍及兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積，再根據(jù)

OA

•

OB

＞2，求得k的另一個(gè)范圍，最后綜合求得k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓C的左焦點(diǎn)為（-

3

，0），右頂點(diǎn)為（2，0）．
∴a=2，c=

3

，
∴b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把直線方程y=x+m代入橢圓方程，消去y，得5x²+8mx+4m²-4=0，
△＞0，可得m²＜5
∴x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=

m2-4

5

∵

OA

•

OB

＞2，
∴x₁x₂+y₁y₂=

5m2-8

5

＞2
∴m²＞

18

5

，
∴m∈(-

5

，-

3 10

5

）∪（

3 10

5

，

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．