Question

4．用0，1，2，3，4，5，6這七個(gè)數(shù)字：
（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？
（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？
（3）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比31560大的五位數(shù)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、個(gè)位從1，3，5選擇一個(gè)，②、千位數(shù)字不可選0，從剩下的5個(gè)中選一個(gè)，③、在剩下的5個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)，安排在百位、十位數(shù)字，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）分2種情況討論：①、個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是0，②個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5，分別求出每一種情況的五位數(shù)個(gè)數(shù)，由加法原理計(jì)算可得答案；
（3）分析可得：符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類分4種情況討論，分別求出每一種情況的五位數(shù)個(gè)數(shù)，由加法原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：
①、個(gè)位從1，3，5選擇一個(gè)，有$C_3^1$種選法，
②、千位數(shù)字不可選0，從剩下的5個(gè)中選一個(gè)，有$C_5^1$種選法，
③、在剩下的5個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)，安排在百位、十位數(shù)字，有A₅²種選法，
則$C_3^1×C_5^1×A_5^2=300$個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)；
（2）分2種情況討論：
①、個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是0，在其余的4個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)，安排在前4個(gè)數(shù)位，有$A_6^4$種情況，
則此時(shí)的五位數(shù)有$A_6^4$個(gè)；
②、個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5，
首位數(shù)字不可選0，從剩下的5個(gè)中選一個(gè)，有$C_5^1$種選法，在剩下的5個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)，安排在中間3個(gè)數(shù)位，
有$C_5^1A_5^3$種情況，
則此時(shí)符合條件的五位數(shù)有$C_5^1A_5^3$個(gè)．
故滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)共有$A_6^4+C_5^1A_5^3=660$個(gè)；
（3）符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類：
第一類：形如4□□□□，5□□□□，6□□□□，共$C_3^1A_6^4$個(gè)；
第二類：形如32□□□，34□□□，35□□□，36□□□共有$C_4^1A_5^3$個(gè)；
第三類：形如316□□，共有$A_4^2$個(gè)；
第四類：形如3156□，共有2個(gè)；
由分類加法計(jì)數(shù)原理知，無重復(fù)數(shù)字且比31560大的四位數(shù)共有：$C_3^1A_6^4+C_4^1A_5^3+A_4^2+2=1334$個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類計(jì)數(shù)及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是理解所研究的事件，對(duì)計(jì)數(shù)問題分類計(jì)數(shù)．