Question

17．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別為它的左、右焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于X軸的弦長(zhǎng)為3，且兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）問(wèn)是否存在過(guò)橢圓焦點(diǎn)F₂的弦PQ，使得|PF₁|，|PQ|，|QF₁|成等差數(shù)列，若存在，求出PQ所在直線(xiàn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件列出方程組，求出橢圓的幾何量a，b，然后求解橢圓方程．
（2）不存在．推出$|{PQ}|=\frac{8}{3}$．顯然直線(xiàn)PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，推出矛盾結(jié)果；當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，得到直線(xiàn)PQ的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓C的方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）由條件過(guò)焦點(diǎn)且垂直于X軸的弦長(zhǎng)為3，且兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2{b^2}}}{a}=3\\ \frac{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right.$，所以橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（4分）
（2）不存在．由條件得：|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=3|PQ|=8，則$|{PQ}|=\frac{8}{3}$．
顯然直線(xiàn)PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，即直線(xiàn)PQ斜率不存在時(shí)，$|PQ|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{2×3}{2}=3≠\frac{4}{3}$．
當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，
則直線(xiàn)PQ的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓C的方程，
消去y并整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，△=144（k²+1）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}•\;{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}•\;\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}•\;{x_2}}=\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}$，
當(dāng)$\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}=\frac{8}{3}$時(shí)，k無(wú)解． （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．