Question

在（1+x²）（1-2x）⁶的展開(kāi)式中，x⁵的系數(shù)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)題意，先求出（1-2x）⁶展開(kāi)式的通項(xiàng)，分析可得（1+x²）（1-2x）⁶展開(kāi)式中出現(xiàn)x⁵的項(xiàng)有兩種情況，①，（1+x²）中出1，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x⁵項(xiàng)，②，（1+x²）中出x²項(xiàng)，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x³項(xiàng)，分別求出其系數(shù)，進(jìn)而將求得的系數(shù)相加可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，（1-2x）⁶展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₆^r•（-2x）^r=（-1）^rC₆^r•2^rx^r，
則（1+x²）（1-2x）⁶的展開(kāi)式中出現(xiàn)x⁵的項(xiàng)有兩種情況，
第一種情況（1+x²）中出1，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x⁵項(xiàng)，其系數(shù)為1×（-1）⁵C₆⁵2⁵=-192，
第二種情況（1+x²）中出x²項(xiàng)，而（1-2x）⁶展開(kāi)式中出x³項(xiàng)，其系數(shù)為1×(-1)3

C

3 6

•23=-160，
則（1+x²）（1-2x）⁶展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)為-192-160=-352；
故答案為：-352．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由多項(xiàng)式的乘法分析其展開(kāi)式中x⁵項(xiàng)出現(xiàn)的情況．