Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，半圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)，0≤φ≤π），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是$ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=5\sqrt{3}$，射線(xiàn)OM：θ=$\frac{π}{3}$與半圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為Q，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）先利用參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化公式將圓C的方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；
（II）利用圓C的極坐標(biāo)方程求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)，再利用直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程求出點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，最后利用|PQ|=|ρ₁-ρ₂|計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）半圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)，0≤φ≤π），
化為半圓C的普通方程為（x-1）²+y²=1（0≤y≤1），
利用互化公式可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ=0，
∴半圓C的極坐標(biāo)方程是$ρ=2cosθ，θ∈[0，\frac{π}{2}]$．
（Ⅱ）設(shè)（ρ₁，θ₁）為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，則$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_1}=2cos{θ_1}}\\{{θ_1}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_1}=1}\\{{θ_1}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
設(shè)（ρ₂，θ₂）為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，
則$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_2}（sin{θ_2}+\sqrt{3}cos{θ_2}）=5\sqrt{3}}\\{{θ_2}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ_2}=5}\\{{θ_2}=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，
由于θ₁=θ₂，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=4，
所以PQ的長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．