Question

11．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，當t=0時，曲線C₁上對應的點為P．以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+{{sin}^2}θ}}}$．     
（1）求曲線C₁的極坐標方程與C₂的直角坐標方程．
（2）設曲線C₁與C₂的公共點為A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，消去參數(shù)化為曲線C₁的普通方程，利用互化公式可得極坐標方程．曲線C₂的極坐標方程為$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+{{sin}^2}θ}}}$，兩邊配方可得：ρ²（3+sin²θ）=12，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）由已知可得P（0，-1），可設曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，代入曲線C₂的直角坐標方程得：21t²-30t-50=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，
消去參數(shù)化為曲線C₁的普通方程：3x-4y-4=0，
∴極坐標方程為：3ρcosθ-4ρsinθ-4=0．
曲線C₂的極坐標方程為$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+{{sin}^2}θ}}}$，
兩邊配方可得：ρ²（3+sin²θ）=12，
可得直角坐標方程：3x²+4y²=12．
（2）由已知可得P（0，-1），可設曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，
代入曲線C₂的直角坐標方程得：21t²-30t-50=0，
∴t₁t₂=-$\frac{50}{21}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{50}{21}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標與直角坐標方程互化、直線與橢圓相交弦長、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．