Question

在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，且AC=2，則

AB

•

AC

的最大值

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的和差化積公式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由A，B，C成等差數(shù)列易得B，由余弦定理可得3²=a²+c²-ac，結(jié)合基本不等式可得結(jié)論．

解答： 解：∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，∴B=

π

3

，
設(shè)角A，B，C的對邊為a，b，c，由正弦定理得：c=

bsinC

sinB

=

4 3

3

sinC，
所以

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=bccosA=

8 3

3

sinCcos(

2π

3

-C)=

4 3

3

[sin

2π

3

-sin(

2π

3

-2C)]
=2-

4 3

3

sin(

2π

3

-2C)
=2+

4 3

3

sin（2C-

2π

3

），
C∈（0，

2π

3

），2C-

2π

3

∈(-

2π

3

，

2π

3

)，
當(dāng)2C-

2π

3

=

π

2

時，

AB

•

AC

取得最大值：2+

4 3

3

．
故答案為：2+

4 3

3

．

點評：本題考查的知識點是解三角形，平面向量的綜合題，本題的突破點是利用三角形的面積公式表示出S，與已知的S相等，化簡得到tanC的值．要求學(xué)生熟練掌握三角形的面積公式以及余弦定理，牢記特殊角的三角函數(shù)值．