Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

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AD．
（1）求證：CD⊥平面PAD；
（2）求證：平面PAB⊥平面PCD；
（3）除了已知和（2）中的兩個(gè)平面互相垂直以外，在不添加其它點(diǎn)和線的情況下，圖中還有哪些平面是互相垂直的？

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）只要證明CD垂直與平面PAD的兩條相交直線；
（2）結(jié)合已知和（1）得到PA⊥面PDC，再利用面面垂直的判定定理證明；
（3）結(jié)合（1，2）利用線面垂直和面面垂直的判定得到其余的垂直平面．

解答： （1）證明：∵底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA=PD
過P作PE⊥AD，垂足為E，
∴PE⊥底面ABCD，
∴PE⊥CD，
∵AD∩PE=E，
∴CD⊥平面PAD；
（2）證明：由（1）可知CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA．
又∵PA=PD=

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AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD=90°，
即PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC．
（3）除了已知和（2）中的兩個(gè)平面互相垂直以外，在不添加其它點(diǎn)和線的情況下，圖中還有平面PCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用以及面面垂直的判定，關(guān)鍵是將線面關(guān)系和面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系解答．