【題目】如圖,四棱錐中,底面是梯形,,,底面點是的中點.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若且與平面所成角的大小為,求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】
(I)根據(jù)已知條件得到,,由此證得平面.從而證得,結(jié)合,證得平面,進而證得.(II)作出與平面所成的角,通過線面角的大小計算出有關(guān)的邊長,作出二面角的平面角,解直角三角形求得二面角的正弦值.
(Ⅰ)證明:因為平面,平面,所以.
又由是梯形,,,知,
而,平面,平面,所以平面.
因為平面,所以.
又,點是的中點,所以.
因為,平面,平面,所以平面.
因為平面,所以.
(Ⅱ)解:如圖所示,過作于,連接,
因為平面,平面,所以,
則平面,于是平面平面,它們的交線是.
過作于,則平面,
即在平面上的射影是,
所以與平面所成的角是.由題意,.
在直角三角形中,,于是.
在直角三角形中,,所以.
過作于,連接,
由三垂線定理,得,所以為二面角的平面角,
在直角三角形中,,.
在直角三角形中,,
所以二面角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù).
(1)求該地區(qū)這一段時間內(nèi)溫度的最大溫差.
(2)若有一種細菌在到之間可以生存,則在這段時間內(nèi),該細菌最多能存活多長時間?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】日本數(shù)學家角谷靜夫發(fā)現(xiàn)的“ 猜想”是指:任取一個自然數(shù),如果它是偶數(shù),我們就把它除以,如果它是奇數(shù)我們就把它乘再加上,在這樣一個變換下,我們就得到了一個新的自然數(shù)。如果反復(fù)使用這個變換,我們就會得到一串自然數(shù),猜想就是:反復(fù)進行上述運算后,最后結(jié)果為,現(xiàn)根據(jù)此猜想設(shè)計一個程序框圖如圖所示,執(zhí)行該程序框圖輸入的,則輸出值為( )
A. B. C. D.
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【題目】(12分)
在平面直角坐標系中,點到點的距離之和為4.
(1)試求點A的M的方程.
(2)若斜率為的直線l與軌跡M交于C,D兩點,為軌跡M上不同于C,D的一點,記直線PC的斜率為,直線PD的斜率為,試問是否為定值.若是,求出該定值;若不同,請說出理由.
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【題目】某企業(yè)對現(xiàn)有設(shè)備進行了改造,為了了解設(shè)備改造后的效果,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測其質(zhì)量指標值,若質(zhì)量指標值在內(nèi),則該產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品.圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖,表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.
(1)完成列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設(shè)備改造有關(guān):
設(shè)備改造前 | 設(shè)備改造后 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
(2)根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù),試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進行比較;
(3)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,根據(jù)客戶需求對合格品進行等級細分,質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為一等品,每件售價180元;質(zhì)量指標值落在或內(nèi)的定為二等品,每件售價150元;其他的合格品定為三等品,每件售價120元.根據(jù)頻數(shù)分布表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品,設(shè)其支付的費用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)=Asin(A>0,>0,<≤)在處取得最大值2,其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為。
(1)求的解析式;
(2)求函數(shù) 的值域。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一塊長方形區(qū)域,,,在邊的中點處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角始終為,設(shè),探照燈照射在長方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當時,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),都有成立.記.
(Ⅰ)求數(shù)列和的通項公式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項和為,求證: .
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