Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（Ⅰ）求{a_n}的首項(xiàng)a₁與遞推關(guān)系式：a_n+1=f（a_n）；
（Ⅱ）先閱讀下面定理：“若數(shù)列{a_n}有遞推關(guān)系a_n+1=Aa_n+B，其中A，B為常數(shù)，且A≠1，B≠0，則數(shù)列{a_n-

B

4-A

}是以A為公比的等比數(shù)列．”請(qǐng)你在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上應(yīng)用本定理，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,類比推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）令n=1，由S₁=2a₁-3，知a₁=3，再由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
由此能求出a_n+1=2a_n+3；
（Ⅱ）按照定理得A=2，B=3，則{a_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由a_n=6•2^n-1-3的特點(diǎn)，利用分組求和法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n．

解答： 解：（I）令n=1，S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
兩式相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
即a_n+1=2a_n+3…（4分）
（II）按照定理：“若數(shù)列{a_n}有遞推關(guān)系a_n+1=Aa_n+B（A，B為常數(shù)，且A≠1，B≠0），
則數(shù)列{a_n-

B

1-A

}是以A為公比的等比數(shù)列”，得A=2，B=3，
則a_n-

B

1-A

=a_n+3，所以{a_n+3}是公比為2的等比數(shù)列．
則an+3=(a1+3)•2n-1=6×2n-1，
即an=6×2n-1-3．         …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=6×2n-1-3，
所以S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3）
=

6(1-2n)

1-2

-3n=6×2n-3n-6 …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的S_n與a_n的關(guān)系式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的求和方法：分組求和法，考查化簡(jiǎn)、靈活變形能力．