Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$，A（x₁，m），B（x₂，m）是曲線y=f（x）上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）證明：x₁+x₂＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到m的范圍即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證f（x₁）＜f（-x₁），只需證$（{x_1}-1）{e^{2{x_1}}}+{x_1}+1＜0$（x₁∈（-1，0）），令h（x）=（x-1）e^2x+x+1＜0，則h'（x）=（2x-1）e^2x+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：f（x）的定義域?yàn)镽．
（Ⅰ）$f'（x）=-\frac{x}{e^x}$，
由f'（x）=0得，x=0，
由f'（x）＞0得，x＜0，
由f'（x）＜0得，x＞0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），
單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
m的取值范圍是（0，1）．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，x₁∈（-1，0），
要證x₂＞-x₁＞0，只需證f（x₂）＜f（-x₁）
因?yàn)閒（x₁）=f（x₂）=m，所以只需證f（x₁）＜f（-x₁），
只需證$\frac{{{x_1}+1}}{{{e^{x_1}}}}＜\frac{{-{x_1}+1}}{{{e^{-{x_1}}}}}$，只需證$（{x_1}-1）{e^{2{x_1}}}+{x_1}+1＜0$（x₁∈（-1，0））
令h（x）=（x-1）e^2x+x+1＜0，則h'（x）=（2x-1）e^2x+1，
因?yàn)椋╤'（x））'=4xe^2x＜0，
所以h'（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，所以h'（x）＞h'（0）=0，
所以h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，所以h（x）＜h（0）=0，
所以${e^{2x}}+\frac{x+1}{x-1}＞0$，故x₁+x₂＞0…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想以及不等式的證明，是一道中檔題．