Question

18．已知△ABC的三邊|AB|=$\sqrt{13}$，|BC|=4，|AC|=1，動點M滿足$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CA}+μ\overrightarrow{CB}$，且λμ=$\frac{1}{4}$．
（1）求cos∠ACB；
（2）求|$\overrightarrow{CM}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用余弦定理求得cos∠ACB的值．
（2）計算${\overrightarrow{CM}}^{2}$的值為λ²+$\frac{1}{{λ}^{2}}$+1，由此求得利用基本不等式求得它的最小值，可得|$\overrightarrow{CM}$|的最小值．

解答 解：（1）∵△ABC的三邊|AB|=$\sqrt{13}$，|BC|=4，|AC|=1，
∴由余弦定理可得cos∠ACB=$\frac{{CA}^{2}{+CB}^{2}{-AB}^{2}}{2CA•CB}$=$\frac{1+16-13}{2•1•4}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CA}$+μ$\overrightarrow{CB}$，λμ=$\frac{1}{4}$，∴$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4λ}$$\overrightarrow{CB}$，
∴${\overrightarrow{CM}}^{2}$=법${\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{1{6λ}^{2}}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$+2•$\frac{1}{4}$•$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=λ²+$\frac{1}{1{6λ}^{2}}$•16+$\frac{1}{2}$•4•1•cos∠ACB
=λ²+$\frac{1}{{λ}^{2}}$+1≥2+1=3，當且僅當λ=±1時，取等號，
故|$\overrightarrow{CM}$|的最小值為$\sqrt{3}$．

點評 本題主要余弦定理，求向量的模，基本不等式的應用，屬于基礎題．