Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．它的面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)B（m，n）（mn≠0）在橢圓上，點(diǎn)A（0，2$\sqrt{3}$），直線AB交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B′為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線AB′交x軸于點(diǎn)E，若在y軸上存在點(diǎn)G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，它的面積為4$\sqrt{3}$．建立方程關(guān)系，求出a，b，即可得橢圓方程．
（2）設(shè)D（x₁，0），E（x₂，0）．由A，D，B，三點(diǎn)共線．得x₁=$\frac{-2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．同理可得x₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．又∠OGD=∠OEG，得$\frac{OD}{OG}=\frac{OG}{OE}，即O{G}^{2}=OD•OE$．由于$\frac{{m}^{2}}{16}-\frac{{n}^{2}}{12}=1$，故${t}^{2}=\frac{12}{12-{n}^{2}}×16（1-\frac{{n}^{2}}{12}）=16$．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{\frac{1}{2}•2c•\sqrt{3}c=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$a=4，b=2\sqrt{3}$，∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）設(shè)D（x₁，0），E（x₂，0）．
由A，D，B，三點(diǎn)共線．得$\frac{0-2\sqrt{3}}{{x}_{1}}=\frac{n-2\sqrt{3}}{m}$，即x₁=$\frac{-2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．
同理可得x₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{n-2\sqrt{3}}$．
又∵∠OGD=∠OEG，∴$\frac{OD}{OG}=\frac{OG}{OE}，即O{G}^{2}=OD•OE$．
∵-2$\sqrt{3}$$＜n＜2\sqrt{3}$，且n≠0，∴${t}^{2}=\frac{-12{m}^{2}}{{n}^{2}-12}=\frac{12{m}^{2}}{12-{n}^{2}}$，
由于$\frac{{m}^{2}}{16}-\frac{{n}^{2}}{12}=1$，∴${t}^{2}=\frac{12}{12-{n}^{2}}×16（1-\frac{{n}^{2}}{12}）=16$，
∴t=±4，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，±4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，方程思想是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．