Question

7．求函數(shù)f（x）=2${\;}^{\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}}$的值域?yàn)椋?，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 分離常數(shù)法$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$=1+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，從而確定1+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$≤-1或1+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$＞1，再確定函數(shù)的值域．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$=1+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，
∵-1≤x²-1且x²-1≠0，
∴$\frac{2}{{x}^{2}-1}$≤-2或$\frac{2}{{x}^{2}-1}$＞0，
∴1+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$≤-1或1+$\frac{2}{{x}^{2}-1}$＞1，
∴2${\;}^{\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}}$∈（0，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）；
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了分離常數(shù)法的應(yīng)用及指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用．