Question

17．若正項數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．則數(shù)列{a_n}的通項公式為（　�。�

• A． a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$
• B． a_n=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$
• C． a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n+1}$
• D． a_n=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$

Answer 1

分析 由a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a₁=1．同理可得：a₂=$\sqrt{2}$-1.${a}_{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a₄=2-$\sqrt{3}$．猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．代入驗證即可得出．

解答 解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．
∴當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a₁=1．
當n=2時，a₁+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），解得a₂=$\sqrt{2}$-1．
同理可得：${a}_{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a₄=2-$\sqrt{3}$．
猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
代入a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．驗證成立．
故選：A．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應用、猜想驗證能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．