Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在x=2.5處的切線的斜率為0．

Answer 1

分析 偶函數(shù)有f（-x）=f（x），f（x）是R上以5為周期，即有（x+5）=f（x）=f（-x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2.5對(duì)稱，即有x=2.5為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零．

解答 解：∵f（x）是R上可導(dǎo)偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）的周期為5，即有f（x+5）=f（x），
∴f（x+5）=f（-x），
則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2.5對(duì)稱，
即有x=2.5為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2.5）=0，即曲線y=f（x）在x=2.5處的切線的斜率0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)切線斜率的計(jì)算，利用函數(shù)的周期性、奇偶性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值點(diǎn)滿足的條件是解決本題的關(guān)鍵．