Question

12．已知坐標(biāo)平面上動點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)P（26，1），Q（2，1），且|MP|=5|MQ|．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中軌跡為C，過點(diǎn)N（-2，3）的直線l被C所截得的線段長度為8，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得$\frac{\sqrt{（x-26）^{2}+（y-1）^{2}}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}}$=5，對其化簡整理變形可得（x-1）²+（y-1）²=25，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；
（2）分2種情況討論：①當(dāng)直線l的斜率不存在，②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，每種情況下先設(shè)出直線的方程，利用直線l被C所截得的線段長度為8，可得關(guān)于k的方程，解可得k的值，綜合即可得答案．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{{|{MP}|}}{{|{MQ}|}}=5$．即：$\frac{\sqrt{（x-26）^{2}+（y-1）^{2}}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}}$=5，
化簡，得：x²+y²-2x-2y-23=0，
即（x-1）²+（y-1）²=25；
所以點(diǎn)M的軌跡方程是（x-1）²+（y-1）²=25．
軌跡是以（1，1）為圓心，以5為半徑的圓．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2；
此時(shí)所截得的線段的長為2$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=8，
所以l：x=-2符合題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y-3=k（x+2），
即kx-y+2k+3=0，圓心到l的距離d=$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由題意，得（$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+4²=5²，解得k=$\frac{5}{12}$．
所以直線l的方程為$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{23}{6}$=0，
即5x-12y+46=0，
綜上，直線l的方程為x=-2或5x-12y+46=0．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是依據(jù)題意，求出點(diǎn)M的軌跡方程，即圓的方程．