Question

7．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍，其上一點到焦點的最短距離為$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+b與圓$O：{x^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$相切，且交橢圓C于A，B兩點，求當△AOB的面積最大時，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意a-c=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a=$\sqrt{3}$b及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）利用點到直線的距離公式，求得b²=$\frac{3}{4}$（k²+1），將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及基本不等式的性質(zhì)，求得丨AB丨的最大值，即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）右焦點（c，0），
$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}b}\\{a-c=\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）y=kx+b與圓$O：{x^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$相切，則$\frac{丨b丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則b²=$\frac{3}{4}$（k²+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0，
又△=12（3k²-b²+1），
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6kb}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3（^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$，
∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²，=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
=（1+k²）[（-$\frac{6kb}{1+3{k}^{2}}$）²-4×$\frac{3（^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$]，
=$\frac{27{k}^{4}+30{k}^{2}+3}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{2}+6{k}^{2}+1}$，
=（1+k²）×$\frac{36{k}^{2}^{2}-12（^{2}-1）（1+3{k}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$=（1+k²）×$\frac{-12^{2}+36{k}^{2}+12}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$，
當k=0時，|AB|²=3，
當k≠0時，丨AB丨²=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2\sqrt{9{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+6}$
（當9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，時“=”成立）
∴|AB|_max=2，
∴（S_△AOB）_max=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時b²=1，滿足△＞0，
∴直線l的方程y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$±1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．