Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＜0時，證明f（x）≤﹣ ﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)閒（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，

求導(dǎo)f′（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0），

①當(dāng)a=0時，f′（x）= +1＞0恒成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0，解得：x=﹣ ．

因?yàn)楫?dāng)x∈（0，﹣ ）時，f′（x）＞0、當(dāng)x∈（﹣ ，+∞）時，f′（x）＜0，

所以y=f（x）在（0，﹣ ）上單調(diào)遞增、在（﹣ ，+∞）上單調(diào)遞減．

綜上可知：當(dāng)a≥0時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，﹣ ）上單調(diào)遞增、在（﹣ ，+∞）上單調(diào)遞減；

（2）

證明：由（1）可知：當(dāng)a＜0時f（x）在（0，﹣ ）上單調(diào)遞增、在（﹣ ，+∞）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=﹣ 時函數(shù)y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）．

從而要證f（x）≤﹣ ﹣2，即證f（﹣ ）≤﹣ ﹣2，

即證﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即證﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤﹣1+ln2．

令t=﹣ ，則t＞0，問題轉(zhuǎn)化為證明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）

令g（t）=﹣ t+lnt，則g′（t）=﹣ + ，

令g′（t）=0可知t=2，則當(dāng)0＜t＜2時g′（t）＞0，當(dāng)t＞2時g′（t）＜0，

所以y=g（t）在（0，2）上單調(diào)遞增、在（2，+∞）上單調(diào)遞減，

即g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，

所以當(dāng)a＜0時，f（x）≤﹣ ﹣2成立．

【解析】（1.）題干求導(dǎo)可知f′（x）= （x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三種情況討論f′（x）與0的大小關(guān)系可得結(jié)論；
（2.）通過（1）可知f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），進(jìn)而轉(zhuǎn)化可知問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)t＞0時﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．進(jìn)而令g（t）=﹣ t+lnt，利用導(dǎo)數(shù)求出y=g（t）的最大值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握解一元二次不等式(求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對應(yīng)方程的根;三求：求對應(yīng)方程的根;四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．