【題目】已知拋物線,過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于S,T,且.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P是x軸下方(不含x軸)一點(diǎn),拋物線C上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足,其中為常數(shù),且兩點(diǎn)D,E均在C上,弦AB的中點(diǎn)為M.
①若點(diǎn)P坐標(biāo)為,拋物線過點(diǎn)A,B的切線的交點(diǎn)為N,證明:點(diǎn)N在直線MP上;
②若直線PM交拋物線于點(diǎn)Q,求證;為定值(定值用表示).
【答案】(1)(2)①證明見解析②證明見解析,定值為
【解析】
(1)設(shè)直線:,聯(lián)立直線與拋物線可得,則由韋達(dá)定理得,,代入中即可求得,進(jìn)而得到拋物線方程;
(2)設(shè),則,,①由可得,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中可得,則,進(jìn)而得到,是方程的兩根,從而求得點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程,聯(lián)立即可求得交點(diǎn),因而得證;
②由,得,代回拋物線方程, 同理①整理后可得,為方程的兩根,求得點(diǎn)的坐標(biāo),則,將點(diǎn)坐標(biāo)代入求證即可
(1)由題,顯然直線的斜率存在,設(shè):,,
聯(lián)立得,,
由韋達(dá)定理得,,
,
,
即
,
則拋物線方程為
(2)設(shè),則,,
①由,,得,
點(diǎn)D在拋物線C上,
故,
即,則,
由,所以,即,
同理可得,
即,是方程的兩根,
解得或,
不妨,,則中點(diǎn),直線
由,所以,
得兩切線,
所以,解得,則,
所以N在直線PM上
②設(shè),,
由,得,
代D入拋物線C,
則,
即,
化簡得:,
同理將E代入拋物線C得:,
即,為方程的兩根,
由韋達(dá)定理得,,,
所以,,
顯然,
所以設(shè),
所以,,
故,為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形為邊長為的正方形,,均為正三角形,在三棱錐中.
(1)求證:平面平面;
(2)若點(diǎn)在棱上,滿足,,點(diǎn)在棱上,且,求得取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,底面,,點(diǎn)在線段上,平面平面.
(1)請指出點(diǎn)的位置,并給出證明;
(2)若,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】條形圖給出的是2017年全年及2018年全年全國居民人均可支配收入的平均數(shù)與中位數(shù),餅圖給出的是2018年全年全國居民人均消費(fèi)及其構(gòu)成,現(xiàn)有如下說法:
①2018年全年全國居民人均可支配收入的平均數(shù)的增長率低于2017年;
②2018年全年全國居民人均可支配收入的中位數(shù)約是平均數(shù)的;
③2018年全年全國居民衣(衣著)食(食品煙酒)住(居。┬校ń煌ㄍㄐ牛┑闹С龀^人均消費(fèi)的.
則上述說法中,正確的個數(shù)是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【題目】如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,底面,,點(diǎn)在線段上,平面平面.
(1)請指出點(diǎn)的位置,并給出證明;
(2)若,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓 ()的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若橢圓的離心率為,的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點(diǎn),,設(shè)弦,的中點(diǎn)分別為,證明:三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過F的直線與E交于A,B兩點(diǎn),C,D分別為A,B在l上的射影,且,M為AB中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.為等腰直角三角形
C.直線AB的斜率為D.的面積為4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn),是過點(diǎn)且與軸垂直的直線,是直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn),過的直線交曲線于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?并說明理由.
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