Question

15．已知點(diǎn)A（-1，-1），若點(diǎn)P（a，b）為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|AP|=2$\sqrt{2}$，則ab的最大值為1．

Answer 1

分析 |AP|=2$\sqrt{2}$，可得（a+1）²+（b+1）²=8，令$\left\{\begin{array}{l}{a=-1+2\sqrt{2}cosθ}\\{b=-1+2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈$（arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{π}{2}-arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}）$．則ab=1-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+8sinθcosθ，令sinθ+cosθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵|AP|=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（a+1）^{2}+（b+1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，（a，b＞0）．
化為（a+1）²+（b+1）²=8，
令$\left\{\begin{array}{l}{a=-1+2\sqrt{2}cosθ}\\{b=-1+2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈$（arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{π}{2}-arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}）$．
則ab=1-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+8sinθcosθ，
令sinθ+cosθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∴ab=1-2$\sqrt{2}$t+4（t²-1）
=$4（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}$-$\frac{7}{2}$≤1，當(dāng)且僅當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)代換與三角函數(shù)的單調(diào)性值域、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．