Question

5．在某產(chǎn)品的生產(chǎn)過程中，次品率p依賴于日產(chǎn)量，已知p=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{101-x}，0＜x≤100}\\{1，x＞100}\end{array}\right.$，其中x為正整數(shù)，已知該廠每生產(chǎn)一件正品可盈利A元，但生產(chǎn)一件次品就要損失$\frac{A}{3}$元．
（1）將該廠的日盈利額y（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域：
（2）為了獲得最大利益，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定義為多少．

Answer 1

分析 （1）通過盈利=總盈利額-損失列式即可；
（2）通過（1）可知y=A[101+$\frac{4}{3}$-（101-x）+$\frac{404}{3（101-x）}$]，通過令u=101-x換元可知f（x）=u+$\frac{404}{3u}$=g（u）在（0，$\sqrt{\frac{404}{3}}$]上為減函數(shù)、在[$\sqrt{\frac{404}{3}}$，+∞）上為增函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，y=A（x-xp）-$\frac{1}{3}$Ap（0＜x≤100）；
（2）當(dāng)x≥100時，產(chǎn)品全為次品，工廠不盈利，不符題意；
故p只能取$\frac{1}{101-x}$，
則y=A[101+$\frac{4}{3}$-（101-x）+$\frac{404}{3（101-x）}$]，
換元，令u=101-x，則u∈（1，101），且u為正整數(shù)，
則f（x）=u+$\frac{404}{3u}$=g（u）在（0，$\sqrt{\frac{404}{3}}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{\frac{404}{3}}$，+∞）上為增函數(shù)，
∵u（12）=f（89）=$\frac{209}{9}$≈23.22＜u（11）=f（90）=$\frac{767}{33}$≈23.24，
∴當(dāng)x=90時y取最大值，
答：為了獲得最大利益，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定義為90件．

點(diǎn)評 本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查分析問題、解決問題的能力，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．