Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，M為AB的中點，△PAD為等邊
三角形，且平面PAD丄平面ABCD．
（I）證明：PM丄BC；
（Ⅱ）求二面角D-BC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取AD中點為O，連結(jié)PO、OM、DM，通過計算可得△ADM是正三角形，利用線面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）以O為坐標原點，分別以射線OA方向、OM方向、OP方向為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則所求值即為平面DBC的法向量與平面PBC的法向量的夾角的余弦值的絕對值，計算即可．

解答 （I）證明：取AD中點為O，連結(jié)PO、OM、DM，
由已知得PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC，
∵∠DAB=90°，AB=2AD，
∴△ADM是正三角形，
∴OM⊥AD，∴OM⊥BC，∴BC⊥平面POM，∴PM丄BC；
（Ⅱ）解：以O為坐標原點，分別以射線OA方向、OM方向、OP方向為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖，
設AD=2，則OP=$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{3}$，則P（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，2$\sqrt{3}$，0），C（-3，2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（-1，2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
∴平面DBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+2\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角D-BC-P的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的計算，線線垂直的判定，考查空間想象能力，計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．