Question

19．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F(xiàn)分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求平面PEC與平面ECD夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、ME，通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則所求值即為平面PEC的法向量與平面ABCD的法向量的夾角的余弦值的絕對值，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：取PC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、ME，
又∵F是PD的中點(diǎn)，∴MF∥DC，且BE=$\frac{1}{2}$DC，
又DC∥AE，∴MF∥AE，
又E是AB的中點(diǎn)，且AB=CD，
∴MF=AE，
∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴AF∥EM，
又EM?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC；
（2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），
D（0，1，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），P（0，0，1），
∴$\overrightarrow{PE}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{EC}$=（1，1，0），
設(shè)平面PEC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
令z=-1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-1），
而平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PA}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴所求平面PEC與平面ECD夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，二面角的計(jì)算，考查空間想象能力、計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．