Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n是S_n和1的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁+S₄=0，b₉=a₁．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和W_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n是S_n和1的等差中項(xiàng)，可得S_n=2a_n-1，再寫(xiě)一式，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，求出等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)與公差，可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)求和，可得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和W_n．

解答： 解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中項(xiàng)，∴S_n=2a_n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，（2分）
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1（6分）
∴S_n=2ⁿ-1；
設(shè){b_n}的公差為d，b₁=-S₄=-15，b₉=a₁=-15+8d=1，
∴d=2，
∴b_n=2n-17；（8分）
（2）c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴W_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度中等．