Question

如圖，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，試求：
（1）△AOC為鈍角三角形的概率；
（2）△AOC為銳角三角形的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的是長(zhǎng)度為5的一條線段，滿足條件的事件是組成鈍角三角形，包括兩種情況，第一種∠ACO為鈍角，第二種∠OAC為鈍角，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果；
（2）由已知條件利用勾股定理求出△AOC三個(gè)角都是銳角時(shí)1＜OC＜4，由此能求出其概率．

解答： 解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的是長(zhǎng)度為5的一條線段，
滿足條件的事件是組成鈍角三角形，包括兩種情況
第一種∠ACO為鈍角，這種情況的邊界是∠ACO=90°的時(shí)候，此時(shí)OC=1
∴這種情況下，滿足要求的0＜OC＜1．
第二種∠OAC為鈍角，這種情況的邊界是∠OAC=90°的時(shí)候，此時(shí)OC=4
∴這種情況下，滿足要求4＜OC＜5．
綜合兩種情況，若△AOC為鈍角三角形，則0＜OC＜1或4＜OC＜5．
∴概率P=

2

5

=0.4，
（2）△AOC為銳角三角形時(shí)，∠ACO為銳角，且∠OAB是銳角
當(dāng)∠ACO=90°時(shí)，有勾股定理求得OC=1，
∠OAC=90°時(shí)，由直角三角形中的邊角關(guān)系，解得OC=4，BC=1
綜上，△AOC三個(gè)角都是銳角時(shí)1＜OC＜4，
其概率為：P=

4-1

5

=0.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，幾何概型的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．