Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知2a_n-2ⁿ=S_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得2a₁-2=a₁，a_n-2a_n-1=2^n-1，n≥2，從而

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，n≥2，進(jìn)而得到{

an

2n

}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，由此能求出a_n=（n+1）•2^n-1．

解答： 解：∵2a_n-2ⁿ=S_n，①
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁-2=a₁，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，2an-1-2n-1=Sn-1，②
①-②，得2a_n-2ⁿ-2a_n-1+2^n-1=a_n，n≥2，
整理，得a_n-2a_n-1=2^n-1，n≥2，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，n≥2，
又

a1

2

=

2

2

=1，∴{

an

2n

}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=1+（n-1）×

1

2

=

1

2

n+

1

2

，
∴a_n=（n+1）•2^n-1．
故答案為：（n+1）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．