Question

19．某校高二奧賽班N名學(xué)生的物理測(cè)評(píng)成績（滿分120分）分布直方圖如圖，已知分?jǐn)?shù)在100～110的學(xué)生數(shù)有21人．
（Ⅰ）求總?cè)藬?shù)N和分?jǐn)?shù)在110～115分的人數(shù)n；
（Ⅱ）現(xiàn)準(zhǔn)備從分?jǐn)?shù)在110～115分的n名學(xué)生（女生占$\frac{1}{3}$）中任選2人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（Ⅲ）為了分析某個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議，對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績x（滿分150分），物理成績y進(jìn)行分析，下面是該生7次考試的成績．

數(shù)學(xué)	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

已知該生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，若該生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到130分，請(qǐng)你估計(jì)他的物理成績大約是多少？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}，\;\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)的數(shù)值；
（Ⅱ）由題意用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求所求的概率值；
（Ⅲ）求平均數(shù)和回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程，利用方程求x=130時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（Ⅰ）分?jǐn)?shù)在100～110內(nèi)的學(xué)生的頻率為
P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，…（1分）
 所以該班總?cè)藬?shù)為$N=\frac{21}{0.35}=60$；…（2分）
分?jǐn)?shù)在110～115內(nèi)的學(xué)生的頻率為
P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，…（3分）
分?jǐn)?shù)在110～115內(nèi)的學(xué)生的人數(shù)為n=60×0.1=6；…（4分）
（Ⅱ）由題意分?jǐn)?shù)在110～115內(nèi)有6名學(xué)生，其中女生有2名，
設(shè)男生為A₁，A₂，A₃，A₄，女生為B₁，B₂，
從6名學(xué)生中選出2人的基本事件為
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），
（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），共15個(gè)；…（6分）
其中恰好含有一名女生的基本事件為
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），共8個(gè)；…（7分）
所以所求的概率為$P=\frac{8}{15}$；…（8分）
（Ⅲ）計(jì)算$\overline x=100+\frac{-12-17+17-8+8+0+12}{7}=100$，
$\overline y=100+\frac{-6-9+8-4+4+1+6}{7}=100$，…（9分）
由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到
$\hat b=\frac{497}{994}=0.5，\hat a=100-0.5×100=50$；…（10分）
所以線性回歸方程為$\hat y=0.5\hat x+50$；…（11分）
當(dāng)x=130時(shí)，計(jì)算$\hat y=115$，
所以估計(jì)他的物理成績大約是115分． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖與列舉法求古典概型的概率問題，也考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是綜合題．