Question

6．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB=2，∠ABC=60°，將三角形ABD沿BD折起，使點A在平面BCD上的投影G落在BD上．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABD；
（2）若E為AC的中點，求三棱錐G-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理，推出AG⊥BD，通過CD⊥BD，證明平面ACD⊥平面ABD；
（2）利用等體積法，轉(zhuǎn)化求解所求三棱錐G-ADE的體積即可．

解答 解：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB=2，∠ABC=60°，
可知∠ABD=30°，則BD⊥CD，將三角形ABD沿BD折起，使點A在平面BCD上的投影G落在BD上．
可得：CD⊥平面ABD，
CD?平面ABD，
所以平面ACD⊥平面ABD；
（2）E為AC的中點，所以A，C到平面DEG距離相等，所求三棱錐G-ADE的體積．就是G-CDE的體積，
V_E-CGD=$\frac{1}{3}$${{S}_{△}}_{CDG}•\frac{1}{2}AG$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}CD•\frac{1}{2}BD×\frac{1}{2}ABsin30°$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
三棱錐G-ADE的體積為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查計算能力．